Kompleksiluvut, todellisuus ja mieli

Matematiikanopettajat korostavat uusia käsitteitä esitellessään usein sitä, että mainitut symbolit ovat vain sovittu tapa esittää kyseinen asia ilman minkäänlaisia oletuksia siitä, ovatko näiden symbolien kuvaamat käsitteet todellisia vai eivät. Lukiossa minusta tuntui aivan omituiselta, että siinä, että luvun neliöjuuri voidaan kirjoittaa saman luvun korottamisena potenssiin puoli, on kyse pelkästään sopimuksesta. On sovittu, että näin voidaan merkitä. Missä on sovittu? Ketkä ovat sopineet? Miksi on sovittu, koska kaikkihan näkevät, että noin se on?

Esitellessään oppilaille uusia käsitteitä matematiikanopettajat korostavat usein sitä, että mainitut symbolit ovat vain sovittu tapa esittää jokin asia ilman minkäänlaisia oletuksia siitä, ovatko näiden symbolien kuvaamat käsitteet todellisia vai eivät. Toisinaan, varsinkin kun kyseessä on ollut joko minulle kokonaan uusien käsitteiden esitteleminen, tai sitten ennestään tuttujen käsitteiden käyttäminen tavalla, jollaisesta en ole aiemmin tiennyt mitään, tämä esitystapa ja merkinnän sovittuuden korostaminen on tuntunut perustellulta. Viimeksi törmäsin tähän tilanteeseen matematiikan tunnilla, kun esiteltävänä olivat kompleksilukujen juuret. Tuntui hyvin luontevalta, että esitelmöijä lähti asiassa liikkeelle hyvin varovaisesti ja korostaen kulloinkin kirjoittamiensa symbolien merkityksiä, vaikka kyseessä olivat pohjimmiltaan jo ennestään hyvin tuntemani potenssiinkorottamisen ja sille vastakkaisen juurenottamisen suorittaminen. Varovaisuus tuntui oikeutetulta, koska itse kompleksiluvutkin vaikuttavat minusta yhä jotenkin vierailta olioilta esimerkiksi kokonaislukuihin verrattuina abstraktin luonteensa vuoksi, ja nyt minun piti pystyä hahmottamaan sellaisista luvuista otettuja juuria.

Kuitenkin samanaikaisesti tämäntapainen varovaisuus on tuntunut suunnattoman teennäiseltä ja turhalta sellaisissa yhteyksissä, joissa käsitteet tai niiden soveltaminen ovat jo entuudestaan hyvinkin tuttuja joko itsenään tai joistain muista, hyvin samantapaisista käsitteiden sovelluksista. Tähän tapaan ajattelin lukiossa, kun käsiteltävänä olivat reaalilukujen potenssilaskusäännöt ja varsinkin murtopotenssit. Tuntui omituiselta, kun opettaja erityisesti korosti, miten siinä, että luvun neliöjuuri voidaan kirjoittaa saman luvun korottamisena potenssiin puoli, tai yleisemmin a:n n:s juuri on yhtäsuuri kuin a potenssiin 1/n, on kyse pelkästään sopimuksesta. On sovittu, että näin voidaan merkitä.

Missä on sovittu? Ketkä ovat sopineet? Miksi on sovittu, koska kaikkihan näkevät, että noin se on todellisuudessa?

Törmäsin näihin samoihin ajatuksiin toisesta suunnasta juuri kompleksilukujen yhteydessä myöhemmissä opinnoissa. Löysin tällöin oppikirjana olevasta matematiikankirjasta erinomaisen selityksen kompleksilukujen kummallisuudelle. Tosin kyseessä oli pikemminkin selitys kompleksilukujen tapaisten outojen objektien nimeämiselle matematiikassa. Lainaus oli alkujaan peräisin Alfred North Whiteheadilta, ja sen ydin minulle oli jokseenkin seuraavissa lauseissa:

"Ei voida liikaa korostaa sitä, että tieteessä asioita nimetään mielivaltaisesti ihan kuten lapsia nimetään kristillisillä nimillä. Ei voida kysyä, ovatko nämä nimet oikeita vai vääriä. Ne voivat olla järkeviä tai eivät; ne voivat näet toisinaan olla annettuja muistamisen helpottamiseksi, tai tärkeiden ja keskeisten seikkojen korostamiseksi." (Grossman, 1995, A-14.)

Valitettavasti vain joko tätä asiaa ei ilmeisesti ole tarpeeksi korostettu peruskoulun ja lukion aikana, tai sitten sen sovittaminen noita kouluja vielä käyvän lapsen tai nuoren ajattelumaailmaan on liian vaikeaa (tai sitten lukiolaisella on liikaa töitä opiskeluissaan muutoinkin, eikä hänellä ole aikaa miettiä sen syvempiä merkityksiä!), koska vasta tässä vaiheessa koen ymmärtäväni täysin, mitä kaikki tämä mielivaltainen asioiden nimeäminen tarkoittaa. Huomasin sen jälleen matematiikan tunnilla, kun opettaja mainitsi, ettei edes kokonaislukujen olemassaolosta ole varmuutta, ja että esimerkiksi Einstein ei uskonut kokonaislukujen olemassaoloon. Tämä epävarmuus niinkin perustavanlaatuisen asian perimmäisestä luonteesta tuli minulle aluksi lievänä järkytyksenä. Kuitenkin paria päivää myöhemmin mieleni yhdisti sen ylläolevaan lainaukseen, ja sitä kautta ymmärsin jotain, joka ulottuu myös pitkälle matematiikan maailman ulkopuolelle.

Toisin kuin Einstein, joka oli (ainakin tarinan mukaan) valmis väittämään, ettei kokonaislukuja olekaan, minusta koko kysymys kokonaislukujen olemassaolosta tai -olemattomuudesta on mieletön. On kuitenkin ehkä helpompi lähestyä tätä asiaa käyttäen vielä kompleksilukuja aasinsiltana. Kuten kompleksilukujen juuret, myös itse kompleksiluvut tuntuivat siis minusta jo aikoinaan melkoisen oudoilta olioilta. Tässä outoudella en kuitenkaan tarkoita, että kompleksiluvut olisi vaikea olettaa, tai että niiden käyttäminen laskuissa olisi vaikeaa. Päinvastoin, minusta oli helppoa sovittaa imaginaariyksikkö i muiden laskuissa vilisevien muuttujien joukkoon, ja teeskennellä aina lopuksi, että vastauksessa i jää näkyviin, koska sitä ei voi eikä siten tarvitsekaan ratkaista.

Kompleksiluvut olivat minusta outoja, koska en mitenkään voinut kuvitella -1:n neliöjuuren nimeämisestä ja erityisesti merkitsemisestä omalla symbolilla olevan mitään käytännön hyötyä. Toisin sanoen siinä, missä omia sormia ja varpaitani laskiessani saatoin itse antaa reaalisille kokonaisluvuille merkityksen toiminnallani, ei kompleksilukuja voinut tuolloin liittää mihinkään. Korkeintaan saatoin kuvitella i:n jonkinlaiseksi vaihtoehtoiseksi reaalilukuyksiköksi, jolloin pelkän reaaliosan tai imaginaariosan sisältävät kompleksiluvut tuntuivat järkeviltä, mutta molempia sisältävät luvut mielettömiltä yhdistelmiltä, joihin osasin kyllä soveltaa niiden laskusääntöjä täysin konemaisesti, vailla tietoisuutta toimintani merkityksestä. Niinpä vaikuttaa siltä, että käsitteen kytkeminen toimintaan toimii minulle 'todellisen' määritelmänä: mitä moninaisempia toimintoja pystyn liittämään johonkin käsitteeseen, sitä vankemmin olen ankkuroinut sen mielessäni 'todellisten' asioiden osastolle.

Tästä johduin ajattelemaan, että samalla logiikalla myös kokonaisluvut ovat vielä suhteellisen kaukana todellisesta, jos niitä vertaa sellaisiin matematiikan ulkopuolisiin käsitteisiin kuten lumisade, metsä tai talo. Niinpä osoittautuukin, että mielessäni edellä luetellut käsitteet talo, metsä, lumisade, kokonaisluvut ja kompleksiluvut asettuvat kaikki yhdelle suoralle, jossa vasemmalle siirryttäessä käsitteet ovat todellisempia, ja oikealle siirryttäessä taas vähemmän todellisia kuin edelliset käsitteet. Tosiasiassa tällöin käytän asian 'todellisuutta' vain sen toimintaan liitettävyyden mitan toisena nimenä. Tällainen käsitys todellisuuden luonteesta ei tyydytä ainakaan minua. Jos lisäksi todellisuuden halutaan olevan bivalentti ominaisuus (asiat joko ovat tai eivät ole todellisia), moinen liukuva käsitys on sitäkin virheellisempi.

Kun lakkaan määrittelemästä todellisuutta kuvaamallani tavalla, ja ennen kuin säntään asettamaan uutta määrittelyä sille, mikä on todellista, huomaan kuitenkin tuon lyhyen hetken aikana jotain mielenkiintoista: näen, kuinka mieleni toimii. Se olettaa, että käsitteen toiminta mielen sisäisessä mallissa aiheuttaa toiminnaksi puettaessa seurauksia, joista syntyvän palautteen mieli voi ottaa vastaan ja käyttää tämän mallin hyödyllisyyden mittarina. Se ei väitä mitään käsitteen todellisuudesta, eikä aseta mitään muuta mittaria kuin tämän mallin toimivuuden. Mallin toimivuuden puolestaan määräävät yksin sen soveltamisen tulokset siten, että hyvät tulokset vahvistavat mallia ja huonot heikentävät sitä. Kysymys siitä, onko mallin edellyttämillä käsitteillä vastineita todellisuudessa, on mieletön ja turha.

Vanha ja länsimaissakin jo kulumiseen asti toisteltu zen-arvoitus kysyy, kuuluuko puun kaatumisesta metsässä ääntä, jos kukaan ei ole sitä kuulemassa. Arvoituksen tarkoituksena on herättää kysymys, joka matematiikan luonteen tunteville voidaan esittää muodossa "ovatko kokonaisluvut todellisia vai eivät?" Jos aikoo vastata matemaattisesti ja rehellisesti, ei ole mielekästä vastata kyllä eikä ei, sillä tosiasiassa matematiikkaan ei kuulu kummankaansuuntainen oletus. Matematiikka tarjoaa vain malleja, jotka käyttävät kokonaisluvun käsitettä, ja mallien toimivuus tai toimimattomuus on kokonaisten mallien henkiinjäämisen tuomari, ei niiden sisältämien käsitteiden todellisuuden mittari.

Kyllä tai ei -vastauksellakin voidaan tilanteesta riippuen ilmaista sama asia, mutta tuolloin on oltava huolellinen ja ovela; voi olla, että Einsteinkin tiesi oikean vastauksen, mutta halusi herätellä kyselijöiden omia ajatuksia väittämällä fysiikan supermiehen viitta harteillaan ettei fysiikan perustaa ole olemassakaan. Mikäli näin olikin, sittemmin hänen sanoistaan on muodostunut dogmi, ja nykyisin anekdootti väittää Einsteinin uskoneen kirjaimellisesti kuten sanoi. Oli miten oli, tällainen mahdollisuus on täysin kuviteltavissa ja muistuttaa hyvin paljon sitä, miten historia luuduttaa kaikkien suurten hengenmiesten (niin tieteelliset kuin uskonnollisetkin) lausumat hengettömiksi ja ehdottomiksi opinkappaleiksi.

Näin ollen jäljellä on enää yksi kysymys: kun olen metsässä, kuinka muistaisin, että tosiasiassa olen vain siellä, missä olen, ja 'metsä' on vain käsite eikä suinkaan se, mihin sillä pääni sisäisessä mallissa viittaan eli se, missä olen?

• Grossman, Stanley I. 1995: Multivariable Calculus, Linear Algebra and Differential Equations. Saunders College Publishing. London.